Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠BAD=∠CDA， 而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中， AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°， ∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA， ∴△AED≌△DFA（SAS）， ∴AF=DE； （2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK， ∵∠BAD=45°， ∴∠HAB=∠KDC=45°， ∴AB=BH=AH， 同理：CD=CK=KD， ∵S梯形ABCD=，AB=a， ∴S梯形ABCD==， 而S△ABE=S△DCF=a2， ∴=2×a2， ∴BC=a．