Question

如图，△ABC和△BEF都是正三角形，AF与BC交于点M，BF与EC交于点N，则下面三个结论中，正确的结论有______个．
（1）AF=CE；
（2）MN∥AE；
（3）AC⊥CE的充分必要条件是AF⊥EF．

Answer 1

解：①∵△ABC和△BFE均是等边三角形，
∴AB=BC，EB=BF，∠ABC=∠FBE=60°，
∴∠CBE=∠ABF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，故①正确；
②∵△ABF≌△CBE，
∴∠BCN=∠BAM，
又∵∠ABC=∠CBN=60°，CB=AC，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=NB，又∠CBF=60°，
∴△BNM为等边三角形，
∴∠BMN=60°=∠ABC，
∴NM∥AE，故②正确；
③∵△ABC和△BFE均是等边三角形，
∴∠ACB=∠BFE=60°，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFB=30°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠AFB=∠CEB=30°，
∵∠CBE=∠CBF+∠FBE=120°，
∴∠BCE=180°-120°-30°=30°，
∴∠ACB=60°+30°=90°，
即：AC⊥CE，
故③正确．
故答案为：3．
分析：首先证明△ABF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可判定出①的正误；再证明△ABM≌△CBN，可以得到BM=NB，然后证明△BNM为等边三角形，可得∠BMN=60°=∠ABC，进而得到②的正误；计算出∠AFB和∠BCE的度数即可得到③的正误．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明△ABF≌△CBE，△ABM≌△CBN，并熟练掌握全等三角形的性质．