Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，∠DME=∠B，MD与射线BA相交于点D，ME与边AC相交于点E．
（1）求证：；
（2）如果DE=ME，求证：ME∥AB；
（3）在第（2）小题的条件下，如果DM⊥AC，求∠ABC的度数．

Answer 1

（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM，∠DMC=∠DME+∠EMC，∠DME=∠B，
∴∠BDM=∠EMC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDM∽△CME，
∴，
即；

（2）证明：∵△BDM∽△CME，
∴，
∵DE=ME，BM=CM，
∴，∠DME=∠EDM，
∵∠DME=∠B=∠C，
∴∠EDM=∠C，
∴△DME∽△CME，
∴∠EMC=∠EMD，
∴∠EMD=∠B，
∴EM∥AB；

（3）解：连接AM，设AC与DM交于点N，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
即∠AMC=90°，
∵AB∥ME，
∴∠BDM=∠EMD，
∵∠EMD=∠EDM，
∴∠BDM=∠EDM，
∵DM⊥AC，
∴∠AND=∠END=90°，
∵在△ADN和△EDN中，
，
∴△ADN∽△EDN（ASA），
∴AD=DE，
∵DE=ME，
∴AD=ME，
∴四边形AMED是平行四边形，
∵AE⊥DM，
∴平行四边形AMED是菱形，
∴∠AMD=∠DME，
∴∠AMD=∠DME=∠EMC，
∴∠B=∠EMC=×90°=30°．
分析：（1）由AB=AC，∠DME=∠B，易证得∠B=∠C，∠BDM=∠EMC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△BDM∽△CME，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得结论；
（2）由DE=ME，BM=CM，易证得△DME∽△CME，则可证得∠EMD=∠B，即可得EM∥AB；
（3）易证得四边形AMED是菱形，即可求得3∠B=90°，继而求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．