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    在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．
    （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
    （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
    （3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

    【答案】分析：（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
    （2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
    （3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
    ①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．
    解答：解：（1）∵MN∥BC，
    ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
    ∴△AMN∽△ABC．
    ∴，即；
    ∴AN=x；
    ∴S=S△MNP=S△AMN=•x•x=x2．（0＜x＜4）

    （2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．
    在Rt△ABC中，BC==5；
    由（1）知△AMN∽△ABC，
    ∴，即，
    ∴MN=x
    ∴OD=x，
    过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
    在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
    ∴△BMQ∽△BCA，
    ∴，
    ∴BM=x，AB=BM+MA=x+x=4
    ∴x=，
    ∴当x=时，⊙O与直线BC相切；

    （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
    ∵MN∥BC，
    ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
    ∴△AMO∽△ABP，
    ∴，
    ∵AM=MB=2，
    故以下分两种情况讨论：
    ①当0＜x≤2时，y=S△PMN=x2，
    ∴当x=2时，y最大=×4=，
    ②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
    ∵四边形AMPN是矩形，
    ∴PN∥AM，PN=AM=x，
    又∵MN∥BC，
    ∴四边形MBFN是平行四边形；
    ∴FN=BM=4-x，
    ∴PF=x-（4-x）=2x-4，
    又∵△PEF∽△ACB，
    ∴，
    ∴S△PEF=（x-2）2；
    y=S△MNP-S△PEF=x2-（x-2）2=-x2+6x-6，
    当2＜x＜4时，y=-x2+6x-6=-（x-）2+2，
    ∴当x=时，满足2＜x＜4，y最大=2．
    综上所述，当x=时，y值最大，最大值是2．
    点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及二次函数的综合应用，要注意（3）中要根据P点的位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
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    23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
    （1）CD与EF平行吗？为什么？
    （2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．

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    在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．
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    （1）如图1．连接BE、CD，BE与CD交于点O，
    ①证明：DC=BE；
    ②∠BOC=
     
    °． （直接填答案）
    （2）如图2，连接DE，交AB于点F．DF与EF相等吗？证明你的结论．

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    18、如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm，则线段AE的长等于
    3
    cm．

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    在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，则tanA的值是（　　）
    A、
    5
    12
    B、
    12
    5
    C、
    12
    13
    D、
    5
    13

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，a=
    		2
    ，b=
    		6
    ，c=2
    		2
    ，则最大边上的中线长为（　　）
    A、
    		2
    B、
    		3
    C、2
    D、以上都不对

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