Question

已知：如图，四边形ADCP为平行四边形，M为Rt△ABC斜边AB的中点，连接PM并延长到点E，使PM=ME，连接DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）求证：DE⊥AC；
（3）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其它条件不变，写出与线段DE有关的结论______．（直接写出结论，不需要证明）

Answer 1

（1）证明：连接BE，
在△PMA和△EMB中，
∵，
∴△PMA≌△EMB，
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC，
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴DE∥BC；

（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵DE∥BC，
∴DE⊥AC；

（3）DE∥BC，DE=BC．
分析：（1）先根据平行四边形的性质，证明△PMA≌△EMB，再证明四边形DEBC是平行四边形，得出结论；
（2）由（1）可知DE∥BC，因为AC⊥BC，所以可证明DE⊥AC；
（3）DE∥BC，DE=BC．如果将Rt△ABC改为任意△ABC，则根据已知条件仍旧可证明四边形DEBC是平行四边形，所以可得DE∥BC，DE=BC．
点评：本题考查平行四边形的性质的运用．解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明．