Question

如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两个点B、C．

(1)BT是否平分∠OBA？证明你的结论；

(2)若已知AT＝4，试求AB的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BT平分∠OBA．证法一：连接OT，∵AT是切线，∴OT⊥AP．又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，∴AB∥OT，∴∠TBA＝∠BTO．又∵OT＝OB　∴∠OTB＝∠OBT．∴OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA．证法二：可作直径BD，连结DT，构成Rt△TBD，也可证得BT平分∠OBA； 　　(2)解法一：过点B作BH⊥OT于点H，则在Rt△OBH中，OB＝5，BH＝AT＝4，∴OH＝3．∵AB＝HT＝OT－OH＝5－3＝2． 　　解法二：设AB＝x，则由Rt△ABT得BT2＝x2＋16，又由Rt△ABT∽Rt△TBD得BT2＝BD·AB＝10x，得方程x2＋16＝10x，解之并取舍，得AB＝2． 　　解法三：过点O作OM⊥BC于M，则MO＝AT＝4．在Rt△OBM中，∵OB＝5，∴BM＝3，∴BC＝2BM＝6．由AT2＝AB·AC，得AB＝2．