Question

如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10m）。

（1）如果所围成的花圃的面积为45m²，试求宽AB的长
（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m²更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设花圃的宽AB＝x米，知BC应为（24-3x）米，故面积y与x的关系式为y＝x（24－3x）＝-3x²+24x
当y＝45时，-3x²+24x=45，
解出x₁＝3，x₂＝5
当x₂＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；当x₂＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意故AB长为5米。
（2）能围成面积比45m2更大的矩形花圃
由（1）知，y＝-3x²＋24x＝-3（x－4）²＋48
，

由抛物线y＝-3（x－4）²＋48知，在对称轴x＜4的左侧，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小．
∴当时，y＝-3（x－4）²＋48有最大值，且最大值为
此时，BC＝10m，即围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为。