Question

如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．
求证：（1）∠FAD=∠EAD
（2）BD=CD．

Answer 1

证明：（1）∵BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠EAD；

（2）∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴∠ADF=∠ADE，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE，即∠ADB=∠ADC，
在△ABD≌△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
分析：（1）根据BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分线，由角平分线的定义可知∠FAD=∠EAD；
（2）由DE=DF，AD=AD可知Rt△ADF≌Rt△ADE，故可得出∠ADF=∠ADE，由对顶角相等可知∠BDF=∠CDE，进而可得出∠ADB=∠ADC，由以上条件可判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的判定定理即可得出BD=CD．
点评：本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键．