Question

1．如图，在三角形纸片ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点A，作直线l∥BC，折叠三角形纸片ABC，使点B落在直线l上的P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，若设AP的长为x，MN的长为y，则下列选项，能表示y与x之间的函数关系的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 首先确定自变量x的取值范围，利用勾股定理、相似三角形，构建函数关系式即可判断．

解答 解：如图1中，作CG⊥AP于G．

当点N与C重合时，在Rt△PGC中，∵∠G=90°，PC=CB=13，CG=AB=5，
∴PG=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴PA=1，
如图2中，当M与A重合时，易知AP=5，

∵定端点M、N分别在AB、BC边上移动，
∴1≤x≤5，观察图A、B、C、D都是正确的．
如图3中，设MP=MB=a，

在Rt△AMP中，a²=x²+（5-a）²，
∴a=$\frac{{x}^{2}+25}{10}$，
由△APB∽△BMN，可得$\frac{AP}{BM}$=$\frac{PB}{MN}$，
∴$\frac{x}{\frac{{x}^{2}+25}{10}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{y}$，
∴y=$\frac{（{x}^{2}+25）•\sqrt{{x}^{2}+25}}{10x}$，
观察图象可知：A、B、D是错误的（取特殊点代入判断即可）．
故选C．

点评 本题考查动点问题函数图象、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会取特殊点解决问题，属于中考常考题型．