Question

6、若整数a不被2和3整除，求证：24|（a²-1）．

Answer 1

分析：因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模（2）分类与按模（3）分类都是不合适的，按模（6）分类，把整数分成6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5这六类．由于6k，6k+2，6k+4是2的倍数，6k+3是3的倍数，所以a只能具有6k+1或6k+5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k+5写成6k-1（它们除以6余数均为5）．

解答：证明：因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，
所以a²-1=（6k±1）²-1=36k²±12k=12k（3k±1）．
由于k与3k±1为一奇一偶（若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数），
所以12|k（3k±1），
于是便有24|（a²-1）．

点评：此题主要利用同余与数的奇偶性解决问题，关键在于表示出被6出的结果可表示为：6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5这六种情况．