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    如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心，F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点。
    （1）连结，
    证明：；
    （2）如图二，过点A分别作半圆O1和O2半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
    （3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA，证明：PA是半圆O1的切线。
    解：（1）证明：如图一，∵，F分别是AB，AC，BC边的中点，
    ∴且，且，
    ∴，
    ∴，
    ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
    ，
    ，
    ，
    ，
    ；
    （2）如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE
    ∵点E是半圆圆弧的中点，
    ∴AE=CE=3，
    ∵AC为直径，
    ∴∠AEC=90°，
    ∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=，
    ∵AQ是半圆的切线，
    ∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，
    ∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
    ∴AQ=AC=AG=，
    同理：∠BAP=90°，AB=AP=，
    ∴CG=，∠GAB=∠QAP，
    ∴，
    ∴PQ=BG，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴BC=，
    ∴BG=，
    ∴PQ=；
    （3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM。
    ∵F是BC边的中点，
    ∴，
    ∴BR=CS，
    由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
    ∴∠2+∠3=90°，
    ∵FM⊥PQ，
    ∴∠2+∠1=90°，
    ∴∠1=∠3，
    同理：∠2=∠4，
    ∴，
    ∴AM=CS，
    ∴AM=BR，
    同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
    ∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
    ∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
    且∠DBR+∠DAR=180°，
    ∴∠5=∠8，∠6=∠7，
    ∵∠DAM+∠DAR=180°，
    ∴∠DBR=∠DAM
    ∴，
    ∴∠5=∠9，
    ∴∠RDM=90°，
    ∴∠5+∠7=90°，
    ∴∠6+∠8=90°，
    ∴∠PAB=90°，
    ∴PA⊥AB，又AB是半圆直径，
    ∴PA是半圆的切线。
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    （1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
    （2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
    （3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O1的切线．
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    1.连结，证明：；

     

     

    2.如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

     

     

    3.如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

     

     

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    （1）连结，证明：；

    （2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

    （3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线

     

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    【小题1】连结，证明：；

    【小题2】如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

    【小题3】如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

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