Question

如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；
当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点；
∴N（3，4）．
设抛物线的解析式为：y=ax（x-6），则：
4=3a（3-6），a=-；
∴抛物线的解析式：y=-x（x-6）=-x²+x．

（2）过点N作NC⊥OA于C；
由题意，AN=t，AM=OA-OM=6-t，NC=NA•sin∠BAO=t•=t；
则：S_△MNA=AM•NC=×（6-t）×t=-（t-3）²+6．
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．

（3）∵Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=t，AC=AN•cos∠BAO=t；
∴OC=OA-AC=6-t，∴N（6-t，t）．
∴NM==；
又：AM=6-t，AN=t（0＜t≤6）；
①当MN=AN时，=t，即：t²-8t+12=0，t₁=2，t₂=6（舍去）；
②当MN=MA时，=6-t，即：t²-12t=0，t₁=0（舍去），t₂=；
③当AM=AN时，6-t=t，即t=；
综上，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形．
分析：（1）根据A、B的坐标，可得到OA=6、OB=8、AB=10；当t=3时，AN=6，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．
（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可．
点评：该动点函数综合题涉及了二次函数的性质、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．应注意的是，当等腰三角形的腰和底不明确时，要分情况进行讨论，以免漏解．