Question

如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F；
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若DF=EF，BE=5，CH=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连BD，∵四边形BDCE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDB+∠CFB=180°，
∵∠EFB+∠CFB=180°，
∴∠EFB=∠CDB，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠DFB=∠CDB，
∴∠DFB=∠EFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）解：∵DF=EF，∠DFB=∠EFB，
∵FE=FE，
∴△FBD≌△FBE，
∴DB=BE=5，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴DH=CH=3，
∴BH=4，连AC，则△ACH∽△DBH，
∴AH•BH=CH•DH，
∴AH=，
∴直径AB=，
∴⊙O的半径为．
分析：（1）连接BD，因为四边形BDCE是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质可求出角相等，判断出直径，进而求出结果．
（2）根据条件判断出△FBD≌△FBE，得到DB=DE，进而求出ACH∽△DBH，根据相似三角形的线段对应成比例可求出解．
点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，相似三角形的判定和性质定理，以及圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点．