练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE．
    （1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=______°；
    （2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
    （3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=时，求AD的长，并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系．

    【答案】分析：（1）有旋转可得出∠α；
    （2）①如图1，点D在AB边上时，m=2；②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．由相似和旋转的性质得出∠A=∠CBE=30°．从而得出m的值；
    （3）先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直线A′C与⊙E相切．②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，得出直线A′C与⊙E相交．
    解答：解：（1）当A′B′过点B时，α=60°；

    （2）猜想：①如图1，点D在AB边上时，m=2；
    ②如图2，点D在AB的延长线上时，m=4．
    证明：①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图1）．
    ∵DE∥A′B′，
    ∴．
    由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
    ∴．
    ∴△CAD∽△CBE．
    ∴∠A=∠CBE=30°．
    ∵点D在AB边上，∠CBD=60°，
    ∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
    ②当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图2）．
    与①同理可得∠A=∠CBE=30°．
    ∵点D在AB的延长线上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
    ∴∠CBD=4∠CBE，
    即m=4；

    （3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
    ∴AB=2，，．
    由△CAD∽△CBE得．
    ∵AD=x，
    ∴，．
    ①当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
    此时，．
    当S=时，．
    整理，得x2-2x+1=0．
    解得x1=x2=1，即AD=1．
    此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如图3）

    ∴EC=EB．
    ∵∠A′CB′=90°，点E在CB′边上，
    ∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB．
    ∴直线A′C与⊙E相切．
    ②当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如图2）.．
    当S=时，．
    整理，得x2-2x-1=0．
    解得，（负值，舍去）．
    即．
    此时∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
    ∴∠CBE＜∠BCE．
    ∴EC＜EB，即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB．
    ∴直线A′C与⊙E相交．
    点评：本题考查了直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，是一道综合题，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：2011-2012学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，最大值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
    （3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
    ①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
    ②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（D不与Q重合）．另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2009-2010学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

    将两块大小一样含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，AC与BD相交于点E，连接CD．

    （1）如图①，若以AB所在直线为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，请你求出过A、B、C、D四点的抛物线的解析式；
    （2）如图②，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=x，△FBP面积为y，求y与x之间的函数关系式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2012年河南省郑州市中考数学考前五套题（一）（解析版） 题型：解答题

    抛物线y=-（x-1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
    （1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
    （2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
    ①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
    ②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2011年浙江省宁波市南三县中考适应性考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，将一块含30°角的学生用三角尺放在平面直角坐标系中，使顶点A，C分别放置在y轴，x轴上，已知AC=2，∠ACO=∠ABC=30°．
    （1）求点A，B，C的坐标；
    （2）求经过A，B两点的直线的解析式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2010年湖北省武汉市中考数学模拟试卷（4）（解析版） 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边重合于OA，直角边不重合，已知A（6，0），AB=OC，AC与OB交于点D，连接BC．
    （1）填空，如图1，D点坐标是______

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案