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如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=

（x＞0）也恰好经过点A．
（1）求k的值；
（2）如图2，过点O作OD⊥AC于D，求CD²-AD²的值；
（3）如图3，将△AOB绕点A逆时针旋转，射线AO交x轴正半轴于点P，射线AB交（1）中双曲线上于点Q，△PAQ能否成为以A为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求点P，Q的坐标；若不能，请说明理由．

分析：（1）首先过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，则AM=AN，进而得出A点横纵坐标相等，进而代入一次函数解析式求出即可；
（2）利用（1）中所求出得出AD²=OA²-OD²①，CD²=OC²-OD²②，利用②-①：CD²-AD²=OC²-OA²求出即可；
（3）如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形，利用已知得出△AOP≌△ABQ（ASA），进而得出P，Q点坐标．

解答：

解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于N，
则AM=AN，
∴设A（a，a）代入y=3x-4中，a=3a-4，
解得：a=2，
∴A（2，2），
代入y=

中，xy=k=4，
∴y=

；

（2）∵A（2，2），∴AO²=2²+2²=8，
又∵y=3x-4，x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴CO=4，CO²=16，
在Rt△AOD中，
AD²=OA²-OD²①，
在Rt△COD中，
CD²=OC²-OD²②，
②-①：CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8；

（3）能，
如图3过点B作BQ⊥x轴于点B，交双曲线于点Q，旋转到此时，
射线AB交双曲线于Q时，△PAQ为等腰直角三角形；
∵∠AOP=∠ABQ=45°，OA=BA，
又∵∠OAB=∠PAQ=90°，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中

∠OAP=∠BAQ

OA=AB

∠AOP=∠ABQ

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，∴△PAQ为等腰直角三角形，
此时x_Q=x_B=4，
∴y=

=1，
∴Q（4，1），
∴OP=QB=1，
∴P（1，0）．

点评：此题主要考查了反比例函数综合应用以及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用等知识，利用数形结合得出是解题关键．

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（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

（2，2）

．

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