Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O半径为1，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N。
（1）写出点M、D、N的坐标；
（2）抛物线过点M、D、N，它的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求cos∠BDF的值与EF的长；
（3）探索：将⊙O作怎样的平移，才能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上。

Answer 1

解：（1）M（-1，-1）、N（1，1）、D（0，1）；
（2）设抛物线的解析式为， ∵点D、M、N在抛物线上， ∴得： 解之，得： ∴抛物线的解析式为：， ∵ ∴ 抛物线的对称轴为， ∴， 连结， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在直角三角形DOE中， cos∠BDF=；
（3）∵⊙O半径为1，平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上， ∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上， 当平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1）， 则， 解得，， ∴O′的坐标为（0，1）或（1，1）， 当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O′′的坐标为（n，-1）， 则， 解得，， ∴O′′的坐标为（-1，-1）或（2，-1）， ① 将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位，能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上； ② 将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移1个单位（或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移个单位），能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上； ③ 将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的负方向平移1个单位，（或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心在抛物线上； ④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移2个单位，（或将⊙O沿着直线的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上。