Question

如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣bx﹣5，
∴OC|=5，
∵OC|：|OA|=5：1，
∴OA|=1，即A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入y=x²﹣bx﹣5得
（﹣1）²+b﹣5=0，
解得b=4，
抛物线的解析式为y=x²﹣4x﹣5；
（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x₀，﹣5），
∴x₀²﹣4x₀﹣5=﹣5，
解得x₀=0（舍去），
或x₀=4，
∴F（4，﹣5），
∴对称轴为x=2，
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，
得，
解得，
所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；
（3）存在．
理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，
∴E（0，﹣1），
∴P（0，﹣1），…
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x₁，﹣x₁﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF，
∴EP=EF，
∴CP=PF，
∴点P在抛物线的对称轴上，…
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3，
∴P（2，﹣3），
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．