Question

已知：如图，PM是⊙O的切线，M为切点，PAB和PCD均是⊙O的割线，它们与⊙O的交点分别为A、B、C、D，且AB•PD=BC•AD．
求证：（1）∠DAP=∠BAC；
（2）△PAC∽△DAB；
（3）PM²-PA²=AC•AD．

Answer 1

证明：（1）连接AC，
∵AB•PD=BC•AD，
∴=，
又∵∠PDA=∠PBC，
∴△DAP∽△BAC，
∴∠DAP=∠BAC；

（2）由（1）∠DAP=∠BAC．
又∵∠PAC=∠PAD-∠CAD．
∠BAD=∠BAC-∠CAD．
∴∠PAC=∠BAD，
而四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ACP=∠DBA．
∴△PAC∽△DAB；

（3）由（2）△PAC∽△DAB，
∴=，
∴PA•AB=AC•AD
又AB=PB-PA，
∴PA•AB=PA（PB-PA）=AC•AD，
即PA•PB-PA²=AC•AD，
又PM为⊙O的切线，PAB为⊙O的割线．
∴PM²=PA•PB，
∴PM²-PA²=AC•AD．
分析：（1）连接AC，证△DAP∽△BAC，即可推出∠DAP=∠BAC；
（2）推出∠PAC=∠BAD和∠ACP=∠DBA根据相似三角形的判定推出△PAC∽△DAB即可；
（3）根据相似得出=，推出PA•AB=AC•AD，推出PA•PB-PA²=AC•AD，根据切割线定理得出PM²=PA•PB，代入即可求出答案．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切割线定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．