Question

如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC=8，BC=3．
（1）线段AC的中点到原点的距离是______；
（2）点B到原点的最大距离是______．

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=90°，AC=8，
∴线段AC的中点到原点的距离是：AC=4；

（2）取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=8，
∴OE=CE=AC=4，
∵BC⊥AC，BC=3，
∴BE==5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=9．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=9，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为9．
故答案为：（1）4，（2）9．
分析：（1）由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得线段AC的中点到原点的距离；
（2）首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
点评：此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．