Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

解：（1）连接OC，因为点C在⊙O上，0A=OC， 所以∠OCA=∠OAC， 因为CD⊥PA， 所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°， 因为AC平分∠PAE， 所以∠DAC=∠CAO， 所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°， 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，垂足为F， 所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF为矩形， 所以OC=FD，OF=CD， ∵DC+DA=6， 设AD=x，则OF=CD=6-x， ∵⊙O的直径为10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5-x， 在Rt△AOF中， 由勾股定理得， 即， 化简得： 解得x=2或x=9， 由AD＜DF，知， 故x=2， 从而AD=2，AF=5-2=3， ∵OF⊥AB， 由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB=2AF=6。