Question

如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，AB=BC，点E为AB中点，BD⊥CE，垂足为M．
（1）求证：CM=4EM；
（2）连AM交BC于G点，求的值；
（3）求．

Answer 1

（1）证明：在△BME与△CMB中，
，
∴△BME∽△CMB，
∴EM：BM=BM：CM=EB：BC，
∵AB=BC=2EB，
∴CM=2BM，BM=2EM，
∴CM=4EM；

（2）解：过点M作MN⊥AB，垂足为N，则MN∥BC，
∴BN：EN=CM：EM=4，
∴BN=4EN，BE=BN+EN=5EN=AE，AN=AE+EN=6EN，
∴AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；

（3）解：设S_△ADM=k．
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△GBM，
∴=（）²=，
∴S_△GBM=k．
∵===，
∴S_△ABG=S_△GBM=×k=k．
∴S_△AEM=S_△BEM=（S_△ABG-S_△GBM）=（k-k）=k，
∵===5，
∴S_△BCE=S_△BEM=k，
∴S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG=k+k-k=k，
∴=．
分析：（1）先由两角对应相等的两三角形相似得出△BME∽△CMB，根据相似三角形对应边成比例得到EM：BM=BM：CM=EB：BC，再结合已知条件AB=BC=2EB，即可证明CM=4EM；
（2）过点M作MN⊥AB，垂足为N，则MN∥BC，由平行线分线段成比例定理得出BN：EN=CM：EM=4，即BN=4EN，同理得出AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；
（3）设S_△ADM=k，先由△ADM∽△GBM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出S_△GBM=k，再由等底的两个三角形面积之比等于高之比得出S_△ABG=S_△GBM=k，由点E为AB中点，得出S_△AEM=S_△BEM=（S_△ABG-S_△GBM）=k，又===5，得出S_△BCE=S_△BEM=k，然后根据S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG，求出S_△CMG=k，进而得出=．
点评：本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，有一定难度．（3）中设S_△ADM=k，然后利用相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理及三角形的面积公式，用含k的代数式分别表示出S_△AEM、S_△BCE、S_△ABG是解题的关键．