Question

已知，如图，在正方形ABCD中，P、Q对分别为BC、CD上的点． (1) 若∠PAQ＝，求证：PB＋DQ＝PQ． (2) 若△PCQ的周长等于正方形周长之半，求证：∠PAQ＝．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：延长CB到E，使BE＝DQ，连AE， 　　∵ABCD是正方形． 　　∴可得AB＝AQ，∠ABE＝∠AQD＝ 　　∴AE＝AQ，∠1＝∠2，由∠PAQ＝，知∠2＋∠3＝ 　　∴∠1＋∠3＝ 　　在△AEP与△AQP中 　　∴△AEP≌△AQP(SAS) 　　∴PE＝PQ 　　而PE＝PB＋BE，BE＝DQ 　　∴PB＋DQ＝QP
(2)	∵△PCQ的周长＝PQ＋QC＋CP，而正方形ABCD的周长＝2(DC＋BC) 　　∴PQ＋QC＋CP＝DC＋BC 　　又DC＝DQ十QC，BC＝BP＋PC 　　∴PQ＝DQ＋BP 　　延长CB交E，使BE＝DQ，连AE则PQ＝PE，AQ＝AE，∠1＝∠2 　　在△APQ与△APE中 　　∴△APQ≌△APE(SSS) 　　∴∠EAP＝∠QAP 　　∵∠2＋∠3＋∠PAQ＝ 　　∴∠1＋∠3＋∠PAQ＝ 　　∴∠PAQ＝ 　　解析：本题要证的两个小题，实质是互逆的两个命题，根据已知条件，可运用构造全等三角形的方法来证明结论．从几何变换的角度来讲，可以通过旋转△ADQ是△ABE，从而把BP＋OQ转化为PE，这种旋转变换的思想，在正方形的有关问题中常用，希望能引起同学们的注意．