Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=DC+AB，DE=DC，F为BC中点．
（1）证明：①∠CEB=90°，②；
（2）除几何性质①、②外，你还能发现哪些几何性质？请你选择其中两条进行证明．

Answer 1

（1）证明：①∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD=180°．
∵AD=DC+AB，DE=DC，
∴∠DCE=∠CED，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEB=90°；
②∵∠CEB=90°，CF=BF，
∴EF=BC．

（2）解：其它主要结论还有：∠DFA=90°；S_△AFD=S_梯形ABCD等．
证明如下：延长DF、AB交于点G．
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠BGF．
又CF=BF，∠BFG=∠CFD，
∴△BFG≌△CFD，
∴BG=CD，DF=GF．
又AD=DC+AB，
∴AD=AG．
∴∠DFA=90°，S_△AFD=S_梯形ABCD．
分析：（1）①根据AB∥CD，得∠ADC+∠BAD=180°，根据AD=DC+AB，DE=DC，得∠DCE=∠CED，AE=AB，则∠ABE=∠AEB，结合三角形的内角和定理，得∠AEB+∠CED=90°，从而证明∠CEB=90°；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明EF=BC；
（2）利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可以发现：∠DFA=90°；S_△AFD=S_梯形ABCD等．
点评：此题综合运用了等腰三角形的性质、梯形的性质、全等三角形的判定及性质．