Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．

(1)弦长AB等于________(结果保留根号)；

(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)． 　　(2)解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角， 　　∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D． 　　∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D． 　　又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°， 　　∴2∠A＝∠B＋∠A＋∠D＝2∠A＋50°， 　　∴∠BOD＝2∠A＝100°． 　　解法二：如图，连结OA． 　　∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DOA＝∠D 　　∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D． 　　又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°， 　　∴∠BOD＝2∠DAB＝100°． 　　(3)∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D． 　　∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°． 　　此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°． 　　∴△DAC∽△BOC． 　　∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝＝．