Question

抛物线y=x²+（m-3）x-m+2的图象交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC恰为等腰三角形，求m．

Answer 1

解：（1）可知x²+（m-3）x-m+2=0的两个根一正一负，
即x₁•x₂=-m+2＜0，
得m＞2；

（2）令y=0，得x=1或-m+2，
∴A（1，0），B（-m+2，0），C（0，-m+2），
∵△ABC恰为等腰三角形，
∴当AB=BC时，m-1=（2-m），
解得m=3±（舍去负号）；
当AB=AC时，m-1=，
解得m=2（舍去）；
当AC=BC时，（2-m）=，
解得m=3或1（舍去1）；
∴m的值为3+；3．
分析：（1）抛物线与x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，则-x²+（m-3）x-m+2=0的两个根一正一负；即x₁•x₂＜0．
（2）用含有m的式子表示出点ABC的坐标，在分三种情况讨论即可．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和x轴的交点问题，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．