Question

已知关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根x₁．x₂，且（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）用k的代数式表示x₁．

Answer 1

（1）证明∵关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k²-4（k²+n）＞0，
∴n＜-k²，
而k²≥0，即-k²，≤0，
∴n＜0；
（2）解：根据题意得x₁+x₂=k，
∴x₂=k-x₁，
∵（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0．
∴-7（2x₁+k-x₁）+15=0．
∴x₁=．
分析：（1）根据一元二次方程根的判别式得到△=k²-4（k²+n）＞0，则n＜-k²，由于-k²，≤0，则可得到n＜0；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k，则x₂=k-x₁，代入（2x₁+x₂）-8（2x₁+x₂）+15=0后变形可得到x₁=．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．