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    已知：如图1，在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD．直线AD，BC相交于点E．
    （1）求∠E的度数；
    （2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
    ①如图2，弦AB与弦CD交于点F；
    ②如图3，弦AB与弦CD不相交；
    ③如图4，点B与点C重合．

    【答案】分析：（1）根据AD⊥BD得到AB是直径，连接OC、OD，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得
    ∠EBD=30°，再进一步求得∠E的度数；
    （2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．
    解答：解：（1）如图1，连接OC、OD．
    ∵AD⊥BD，
    ∴AB是直径．
    ∴OC=OD=CD=1．
    ∴∠COD=60°，
    ∴∠DBE=30°，
    ∴∠E=60°．

    （2）①如图2，连接OD、OC，AC．
    ∵DO=CO=CD=1，
    ∴△DOC为等边三角形，
    ∴∠DOC=60°，
    ∴∠DAC=30°，
    ∴∠EBD=30°，
    ∵∠ADB=90°，
    ∴∠E=90°-30°=60°，
    ②如图3，连接OD、OC．同理可得出∠CBD=30°，∠BED=90°-30°=60°．
    ③如图4，当点B与点C重合时，则直线BE与⊙0只有一个公共点．
    ∴EB恰为⊙O的切线．∠E=60°．
    点评：此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB是直径，进一步发现等边三角形COD．从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    本题为选项做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
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    甲：直线l：y=（m-3）x+n-2（m，n为常数）的图象如图1所示，化简：|m-n|-
    		n24n+4
    -|m-1|    ；
    乙：已知：如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B），使得△MAN相似？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•锡山区一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=
    m
    x
    相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）．
    （1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出
    CD
    AB
    的值为
    1
    3
    1
    3
    ．
    （2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
    ①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
    ②当
    CD
    AB
    =2时，求tan∠OAB的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•响水县一模）探究与发现：
    探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

    已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
    探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
    已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
    探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
    已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．
    探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
    请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：
    ∠P=
    1
    2
    （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
    ∠P=
    1
    2
    （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•闸北区二模）已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=
    45
    ，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP=x，BQ=y．
    （1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
    （2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
    （3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图1，在△ABC中，D、F分别是AB、CA上的两个定点，在BC上找一点E，使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
    （2）已知：如图2，在△ABC中，若在上一题的条件改为D是AB上一定点，在BC、CA、上分别找一点E、F使△DEF的周长最小，请作出相应图形并写出作法；
    （3）已知：如图3，在△ABC中，是否存在D、E、F分别在AB、BC、CA，且△DEF的周长最小？若存在请作出相应图形并写出作法；若不存在，请说明理由．

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