Question

如图所示，△ABC的内切圆I与BC，CA，AB分别切于D，E，F，已知BC＝a，AC＝6，AB＝c，设⊙I的半径为r，S＝(a＋b＋c)．求证： (1) ∠BIC＝＋∠BAC (2) ∠EDF＝－∠BAC (3) S△ABC＝S·r

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因为I为△ABC的内心，所以IB，IC分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，所以∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)．而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝，所以∠ABC＋∠ACB＝－∠ABC，所以∠IBC＋∠ICB＝(－∠BAC)＝－∠BAC，在△BIC中，∠BIC＝－(∠IBC＋∠ICB)＝－＋∠BAC，即∠BIC＝＋∠BAC． 　　解题指导：因为I是△ABC的内心，所以IB，IC分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(－∠BAC)，从而在△BIC中可求∠BIC
(2)	因为⊙I是△ABC的内切圆，所以IE⊥AC．IF⊥AB，所以∠IEA十∠IFA＝＋＝，四边形AEIF的内角和为，所以∠EIF＋∠BAC＝，所以∠EIF＝－∠BAC．因为∠EDF＝∠EIF，所以∠EDF＝(－∠BAC)＝－∠BAC 　　解题指导：∠EDF和∠EIF是⊙I中所对圆周角和圆心角．所以∠EDF＝∠EIF，再根据四边形AEIF中∠EIF与∠BAC的关系，可求∠EDF与∠BAC的关系
(3)	证明：因为S△ABC＝S△BIC＋S△ABC＋S△AIB，⊙I与BC，AC，AB分别切于D，E，F，所以ID⊥BC，IE⊥AC，IF∥⊥AB，且BC＝a，AC＝b，AB＝c，所以S△ABC＝a·ID＋b·IE＋c·IF，因为ID＝IE＝IF＝r，所以S△ABC＝ar＋br＋cr＝×(a＋b＋c)r＝S·r 　　解题指导：因为IA，IB，IC将△ABC分成三个三角形，所以S△ABC＝S△BIC＋s△AIC＋S△AIB，而这三个三角形的高均为△ABC的内切圆半径r．