Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O．
（1）若⊙O与AB相切于点E，试判断⊙O与AC的关系，并写出你的判断过程．
（2）连接CO后，请你根据图中信息，写出三个不同类型的正确结论．

Answer 1

解：（1）⊙O与AC相切．
理由如下：过点O作OF⊥AC，垂足为F．
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE的长度等于⊙O的半径，且OE⊥AB．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴OF=OE=⊙O的半径．
∴⊙O与AC相切；

（2）结论不唯一，如：①OC=OB；
②△AOB≌△AOC；
③OC平分∠ACB；
④点O到△ABC三边的距离相等．
分析：（1）过点O作OF⊥AC，垂足为F，由于⊙O与AB相切于点E，所以OE的长度等于⊙O的半径，且OE⊥AB，AO是∠BAC的平分线，故可得出OF=OE=⊙O的半径，进而可得而出结论；
（2）根据三角形内心的性质即可得出结论．
点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用三角形内角的性质求解是解答此题的关键．