Question

10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？

Answer 1

解：设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），依题意得：a₁＞a₂＞a₃＞…a₉＞a₁₀
a₁≤1+2×（9-1）=17，
a₂≤a₁-1=16，
a₃+20=a₁+a₂，
∴a₃≤13 ①，
又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，
∴a₇+a₈+a₉+a₁₀≥12，
∴a₄≥12
而a₃≥a₄+1≥13，②
∴由①②得：a₃=13，
∴a₁+a₂=33，
∴a₁=17，a₂=16，
又∵a₁≤a₃-1=12，
∴a₄=12，
∵a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀=×2=90，
∴17+16+13+12+a₅+a₆+12=90，
而a₅+a₆≤a₅+a₅-1，
即：a₅≥10，
又a₅＜a₄=12，
∴a₅=11，a₆=9，
故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．
分析：先设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），得出a₁、a₂的值，再根据得出a₄≥12，求出a₃，再根据a₁≤a_3^-1=12，求出a₄，最后根据a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀=90分别求出a₅、a₆的值．
点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．