Question

如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，a），B点的坐标为（b，0），且a、b满足．

（1）求证：∠OAB=∠OBA；
（2）点C为OB的延长线上一点，连接AC，过B作BD⊥AC，连接OD．求证：OD平分∠ADB；
（3）点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，P为AF的延长线上一动点，G为BA的延长线上一点，连接PG，且满足BG=PG+PF，当P在AF的延长线上运动的过程中，∠PEG的度数是否会发生变化？若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵a、b满足， ∴a+b=4，a﹣2b=﹣2， ∴a=2，b=2， ∴A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（2，0）， ∴OA=OB=2， ∴∠OAB=∠OBA； （2）证明：∵∠AOB=90°，∠ADB=90°， ∴A、O、B、D四点在同一个圆上， ∵OA=OB，且∠AOB=90°， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠ADO=∠OBA=45°， ∴∠BDO=∠OAB=45°， ∴∠BDO=∠ADO， ∴OD平分角ADB； （3）解：∠PEG=45°不变． 连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME， ∵点E是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点， ∴EF=BE，四边形AFBE是正方形， ∴△PFE≌△MBE， ∴∠MEB=∠PEF， ∵GB∥EF， ∴∠FEG=∠AGE． ∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE， ∵△PGE≌△MGE， ∴∠PEG=∠GEM， ∴∠GEM=∠MEB+∠MGE， ∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°， ∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°， ∴∠PEG=45°