如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．
(1)BD＝DC吗？说明理由；
(2)求∠BOP的度数；
(3)求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．
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分析．(1)连接AD，由圆周角定理可知∠ADB＝90°，再由AB＝AC可知△ABC是等腰三角形，故BD＝DC； (2)由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD＝∠CAD，故 所以∠DEC＝∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC＝75°，故∠DEC＝75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC＝∠EDC＝30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB＝OP，可知∠OBP＝∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP＝90°； (3)设OP交AC于点G，由∠BOP＝90°可知∠AOG＝90°在Rt△AOG中，由∠OAG＝30°，可知 解答．(1)解：BD＝DC． 连接AD，如图， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC；
(2)解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴ ∴BD＝DE， ∴BD＝DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ∴∠DCE＝∠ABC＝ ∴∠DEC＝75° ∴∠EDC＝180°－75°－75°＝30° ∵BP∥DE， ∴∠PBC＝∠EDC＝30°， ∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝75°－30°＝45° ∵OB＝OP， ∴∠OBP＝∠OPB＝45°， ∴∠BOP＝90°； (3)证明：证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG＝∠BOP＝90° 在Rt△AOG中， ∵∠OAG＝30°， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵∠AGO＝∠CGP ∴△AOG∽△CPG， ∴∠GPC＝∠AOG＝90°， ∴CP是⊙O的切线) 证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图，则∠BOP＝∠BHC＝90°， ∴PO∥CH 在Rt△AHC中， ∵∠HAC＝30°， ∴CH＝ 又∵PO＝ ∴PO＝CH， ∵四边形CHOP是平行四边形 ∴四边形CHOP是矩形， ∴∠OPC＝90°， ∴CP是⊙O的切线．
点评．本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直． |
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考点．切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理． |
备战中考寒假系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为A、
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B、（
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C、
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D、
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，进而可得出BD＝DE，故BD＝DE＝DC，
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，由于
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，所以
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，再根据∠AGO＝∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC＝∠AOG＝90°，故可得出CP是⊙O的切线．
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，
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，
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，
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AC，
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=