Question

在正方形ABCD 的边AB上任取一点E，作EF⊥AB 交 BD 于点 F，取FD 的中点G，连接EG、CG，如图①，易证 EG=CG，且EG⊥CG。
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。

Answer 1

解：（1）EG= CG，且EG⊥CG
如图⑤
（2）EG= CG，且EG⊥CG
证明：延长 FE交DC延长线于M，连MG
∵∠AEM= 90°，∠EBC=.90°，∠BCM= 90°
∴四边形 BEMC是矩形
∴BE= CM，∠EMC= 90°
又∵BE= EF 
∴EF=CM
∵∠EMC= 90°，FG=DG，
∴MG=FD=FG
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°，
又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC，
∴△GFE≌△GMC
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
即∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG