Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．

Answer 1

证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．
点评：此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是取AB的中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．