Question

如图，过△ABC内任意一点O向三边BC、CA、AB作垂线，垂足分别为D、E、F．求证：AF²＋BD²＋CE²＝FB²＋DC²＋EA²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由于D、E、F分别是垂足，而要证明的结论都与线段的平方有关，所以考虑连结OA、OB、OC构造直角三角形，运用勾股定理证明． 　　证明：连结OA、OB、OC． 　　因为OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC， 　　所以∠AFO＝∠BFO＝∠BDO＝∠CDO＝∠CEO＝∠AEO＝90°． 　　所以在Rt△AFO、Rt△BFO、Rt△BDO、Rt△CDO、Rt△CEO和Rt△AEO中，分别运用勾股定理，得 　　AF2＝OA2－OF2，FB2＝OB2－OF2，BD2＝OB2－OD2，DC2＝OC2－OD2，CE2＝OC2－OE2，EA2＝OA2－OE2． 　　所以AF2＋BD2＋CE2＝OA2－OF2＋OB2－OD2＋OC2－OE2，FB2＋DC2＋EA2＝OB2－OF2＋OC2－OD2＋OA2－OE2． 　　所以AF2＋BD2＋CE2＝FB2＋DC2＋EA2．