Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F；
（1）求证：AF=EF；
（2）求tan∠ABF的值；
（3）连接AC交BE于点G，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△EBD是由△CBD折叠而得，
∴ED=DC，BE=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BED=90°，
∴ED=AB，
∴∠ABF=∠EDF，
∵在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF=EF；

（2）解：设AF=x，
∵AB=3，BC=BE=4，AF=EF
∴BF=4-x，
∵∠BAF=90°
∴AF²+AB²=BF²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=，
∴tan∠ABF===；

（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC；
∴AC===5，
∴△AGF∽△CGB，
∴=，
设AG=m，则CG=5-m，
∴=，
解得m=，即AG=．
分析：（1）由图形折叠的性质得出ED=DC，BE=BC，根据全等三角形的判定定理得出△AFB≌△EFD，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）设AF=x，由AB=3，BC=BE=4，AF=EF可知BF=4-x，在Rt△ABF中根据勾股定理可求出x的值，根据tan∠ABF即可得出结论；
（3）由于四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，AD∥BC，再根据勾股定理求出AC的长，由相似三角形的判定定理得出△AGF∽△CGB，所以=，设AG=m，则CG=5-m代入比例式即可得出m的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、矩形的性质及勾股定理，熟知以上知识是解答此题的关键．