Question

已知抛物线y=x²﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²﹣2x+m﹣1与x轴只有一个交点，
∴△=（﹣2）²﹣4×1×（m﹣1）=0，解得，m=2；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x²﹣2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．由1=x²﹣2x+1，
解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD﹣xB=1．
∵在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=．
∴∠ABC=180°﹣∠CBD﹣∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由题知，抛物线C'的解析式为y=x²﹣2x﹣3，
当x=0时，y=﹣3；
当y=0时，x=﹣1或x=3，
∴E（﹣1，0），F（0，﹣3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），
作P₁M⊥x轴于M．
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，则，
即EM=3P₁M．
∴EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁①
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C'上，则有3（x₁²﹣2x₁﹣3）=x₁+1，
整理得，3x₁²﹣7x₁﹣10=0，
解得，x₁=﹣1（舍）或．
把代入①中可解得，y₁=．
∴P₁（，）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），
作P₂N'与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，得，
即P₂N=3FN．
∴P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）②
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C'上，
则有x²=3（3+x₂²﹣2x₂﹣3），
整理得3x₂²﹣7x₂=0，
解得x₂=0（舍）或．
把代入②中可解得，．
∴P₂（，）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）．