练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    20．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

    （1）求抛物线的解析式；
    （2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
    （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

    分析 （1）根据待定系数法求得即可；
    （2）设P（m，0），则E（m，-m2+2m+3），求得PE=-m2+2m+3，根据待定系数法求得直线BC的解析式，求得F的坐标，求得PF=-m+3，即可求得EF=-m2+3m，根据平行四边形的性质得-m2+3m=2，从而求得P点的坐标；
    （3）先根据B、C的坐标求得BC的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得M的纵坐标，进而求得M的坐标．

    解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
    （2）如图1，设P（m，0），
    ∵点E是抛物线上的点，
    ∴E（m，-m2+2m+3），
    ∴PE=-m2+2m+3，
    把x=0代入y=-x2+2x+3得：y=3，
    ∴C（0，3），
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
    ∴线BC的解析式为y=-x+3，
    ∵点F在直线BC上，
    ∴PF=-m+3
    ∴EF=PE-PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，
    若四边形ODEF是平行四边形，则EF=OD=2，
    ∴-m2+3m=2，
    解得，m1=1，m2=2，
    ∴当四边形ODEF是平行四边形时，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
    （3）存在；
    理由：如图2，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
    ∴对称轴x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
    ∵B（3，0），C（0，3），
    ∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
    ∵M在直线x=1上，
    ∴设M（1，n），
    ①当BM=BC=3$\sqrt{2}$，
    ∴（3-1）2+（0-n）2=（3$\sqrt{2}$）2，
    ∴n=$\sqrt{14}$，或n=-$\sqrt{14}$，
    ②当CM=BC=3$\sqrt{2}$，
    ∴12+（3-n）2=（3$\sqrt{2}$）2，
    ∴n=3+$\sqrt{17}$，或n=3-$\sqrt{17}$，
    ③当CM=BM时，
    ∴（3-1）2+（0-n）2=12+（3-n）2，
    ∴n=1．
    综上，M点的坐标为（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，1）．

    点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式以及解析式的对称轴，勾股定理的应用以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km，他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确个数为（　　）
    ①甲的速度是5km/h
    ②乙的速度是10km/h
    ③乙比甲晚出发1h
    ④甲比乙晚到B地3h．
    A．1B．2C．3D．4

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    11．已知$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$是方程mx+3y=1的一个解，则m的值是5．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．已知5+$\sqrt{11}$的整数部分为a，5-$\sqrt{11}$的小数部分为b，则a+b的值为12-$\sqrt{11}$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．计算：
    （1）-32+|$\sqrt{2}$-3|+$\sqrt{36}$；
    （2）$\sqrt{1{0}^{2}}$+4×$\root{3}{-\frac{1}{8}}$+$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    5．计算：（$\sqrt{10}$-3）2007•（$\sqrt{10}$+3）2008=$\sqrt{10}$+3．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．现定义两种运算△，*，对于任意两个整数a，b，都有a△b=a+b-1，a*b=ab-1，试求2*[（3△4）△（2*1）]的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．计算：（$\sqrt{6}$+$\sqrt{10}$-$\sqrt{14}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l（图中的黑粗线）以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t（秒）表示l的运动时间．

    （1）请你针对图（1）（2）（3）中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
    （2）设△PAB内的盲区面积是y（平方单位），在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式．
    ①1≤t≤2．
    ②2≤t≤3．
    ③3≤t≤4．
    根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案