Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA=45°．
求证：AE⊥BE．

Answer 1

证明：过C点作CF⊥CE交EA的延长线于F，
∵∠CEA=45°，
∴∠F=∠CEA=45°，
∴CF=CE，
∵∠FAC+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠FCA=∠ECB，
在△FCA和△ECB中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠F=45°，
∴∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，
即AE⊥BE．
分析：首先过C点作CF⊥CE交EA的延长线于F，易证得△ACF≌△BCE（SAS），即可得∠BEC=∠F=45°，继而证得AE⊥BE．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握数形结合思想的应用．