Question

已知，如图以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即：△ABD、△ACF、△BCE.请回答下列问题(不需说理由)

(1)四边形ADEF是什么四边形？

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

(3)当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△BCE、△ABD是等边三角形 ∴∠DBA=∠EBC=60°，AB=BD，BE=BC ∴∠DBE=∠ABC，∴△DBE≌△ABC ∴DE=AC 又△ACF是等边三角形 ∴AC=AF，∴DE=AF 同理可证：AD=EF ∴四边形ADEF是平行四边形. (2)假设四边形ADEF是矩形 则∠DAF=90° 又∠DAB=∠FAC=60° ∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360° ∴∠BAC=150° 因此当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形. (3)由图知道：∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360° 所以：当∠BAC=60°时，D、A、F为同一直线，与E点构不成四边形，即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在. 结果：(1)四边形ADEF是平行四边形. (2)当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形. (3)当△ABC中的∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.