Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在边BC上，∠ADC=60°，且BD=CD．将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换，得到△AC′D，连接BC′
（Ⅰ）求证：BC′⊥BC；
（Ⅱ）求∠C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵△AC'D是△ACD以AD为轴对称变换得到的，
∴△AC′D≌△ACD．
有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC．
∵BD=CD，∠ADC=60°，
∴BD=C′D，∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°．
取C'D中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BC′P为等腰三角形，
有∠BC′D=∠BPD=∠BDC′=30°．
∴∠C'BD=90°，
即BC′⊥BC．

（Ⅱ）解：如图，过点A分别作BC，C'D，BC'的垂线，垂足分别为E，F，G．
∵∠ADC'=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，
∴AE=AF．
∵∠C'BD=90°，∠ABC=45°，
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG=AE．
于是，AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上．
又∵∠BC′D=30°，有∠GC'D=150°．
∴∠AC′D=∠GC′D=75°．
∴∠C=∠AC′D=75°．
分析：（1）首先根据折叠得到△AC′D≌△ACD，然后利用全等三角形的性质得到C′D=CD，∠ADC′=∠ADC，接着利用已知条件和等腰三角形的性质与判定即可证明题目的结论；
（2）如图，过点A分别作BC，C′D，BC′的垂线，垂足分别为E，F，G．由于∠ADC′=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，然后利用角平分线的性质得到AE=AF．而∠C'BD=90°，∠ABC=45°，可以得到∠GBA=∠C'BC-∠ABC=45°，再利用角平分线的性质得到AG=AE，这样得到AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上，最后利用∠BC′D=30°即可求出∠GC'D的度数．
点评：此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．