Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦．过点B作BC∥AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD

(1)判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：

(2)若AB＝9，BC＝6，求PC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)直线PC与圆O相切． 　　如图①，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD． 　　∵∠BAC＝∠BNC，∴∠BNC＝∠ACD． 　　∵∠BCP＝∠ACD，∴∠BNC＝∠BCP． 　　∵CN是圆O的直径，∴∠CBN＝90°． 　　∴∠BNC＋∠BCN＝90°，∴∠BCP＋∠BCN＝90°． 　　∴∠PCO＝90°，即PC^ OC． 　　又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切．(4分) 　　(2)∵AD是圆O的切线，∴AD^ OA，即∠OAD＝90°． 　　∵BC∥AD，∴∠OMC＝180°－∠OAD＝90°，即OM^ BC． 　　∴MC＝MB．∴AB＝AC． 　　在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，AC＝AB＝9，MC＝BC＝3， 　　由勾股定理，得AM＝＝＝6． 　　设圆O的半径为r． 　　在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，OM＝AM－AO＝6－r，MC＝3，OC＝r， 　　由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC2，即(6－r)2＋32＝r2．解得r＝． 　　在△OMC和△OCP中， 　　∵∠OMC＝∠OCP，∠MOC＝∠COP， 　　∴△OMC～△OCP．∴＝，即＝． 　　∴PC＝．(8分) 　　解法二：(1)直线PC与圆O相切．如图②，连接OC． 　　∵AD是圆O的切线，∴AD^ OA， 　　即∠OAD＝90°． 　　∵BC∥AD，∴∠OMC＝180°－∠OAD＝90°， 　　即OM^ BC． 　　∴MC＝MB．∴AB＝AC．∴∠MAB＝∠MAC． 　　∴∠BAC＝2∠MAC．又∵∠MOC＝2∠MAC，∴∠MOC＝∠BAC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．∴∠MOC＝∠ACD．又∵∠BCP＝∠ACD， 　　∴∠MOC＝∠BCP．∵∠MOC＋∠OCM＝90°，∴∠BCP＋∠OCM＝90°． 　　∴∠PCO＝90°，即PC^ OC．又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切． 　　(2) 在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，AC＝AB＝9，MC＝BC＝3， 　　由勾股定理，得AM＝＝＝6． 　　设圆O的半径为r． 　　在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，OM＝AM－AO＝6－r，MC＝3，OC＝r， 　　由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC 2，即(6－r)2＋32＝r2．解得r＝． 　　在△OMC和△OCP中，∵∠OMC＝∠OCP，∠MOC＝∠COP， 　　∴△OMC～△OCP，∴＝，即＝． 　　∴PC＝．(8分)