Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．
求证：AD=CE．

Answer 1

证法一：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，
∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），
∠A+∠ABC=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DB=BE，
∴∠DBC=∠E，
∵∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠E，
在△ABD和△CDE中，，
∴△ABD≌△CDE（AAS），
∴AD=CE；

证法二：连接AC，
在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，
∴AC=BD（等腰梯形的对角线相等），
∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），
在△ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵DB=BE，
∴∠DBC=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴AC∥DE，
又∵DE=BD，
∴DE=AC，
∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），
∴AD=CE．（平行四边形的对边相等）．
分析：证法一：根据等腰梯形同一底上的内角相等可得∠ABC=∠DCB，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A+∠ABC=180°，然后根据等角的补角相等求出∠A=∠DCE，再根据等边对等角求出∠DBC=∠E，然后利用两直线平行，内错角相等得到∠ADB=∠DBC，从而推出∠ADB=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
证法二：根据等腰梯形同一底上的内角相等可得∠ABC=∠DCB，然后利用“边角边”证明△ABC和△DCB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DBC，再根据等边对等角求出∠DBC=∠E，然后求出∠ACB=∠E，根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，综合题，但难度不大，找出三角形全等的条件是解题的关键．