Question

（2013•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB₁C₁，再以等边三角形AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB₂C₂，再以等边三角形AB₂C₂的边B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边AB₃C₃；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB_nC_n的面积为

3

（

3

4

）ⁿ

．

Answer 1

分析：由AB₁为边长为2等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B₁为BC的中点，求出BB₁的长，利用勾股定理求出AB₁的长，进而求出第一个等边三角形AB₁C₁的面积，同理求出第二个等边三角形AB₂C₂的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB_nC_n的面积．

解答：解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB₁=

3

，
∴第一个等边三角形AB₁C₁的面积为

3

4

×（

3

）²=

3

（

3

4

）¹；
∵等边三角形AB₁C₁的边长为

3

，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B2=

3

2

，AB₁=

3

，
根据勾股定理得：AB₂=

3

2

，
∴第二个等边三角形AB₂C₂的面积为

3

4

×（

3

2

）²=

3

（

3

4

）²；
依此类推，第n个等边三角形AB_nC_n的面积为

3

（

3

4

）ⁿ．
故答案为：

3

（

3

4

）ⁿ

点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．