Question

在△ABC中，AD⊥BC，∠CAD=∠B．
（1）利用尺规作图，作△ADB的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）若AC=10，AD=8，求⊙O的直径．

Answer 1

解：（1）如图，利用尺规正确作图可得；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴AC是⊙O的切线；

（3）∵∠ADC=90°，AC=10，AD=8，
∴CD=6，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∠CAD=∠B，
∴△ADC∽△BDA，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）△ADB是直角三角形，以AB为直径就能作出外接圆⊙O
（2）AC经过⊙O半径外端点A，要证AC是⊙O的切线；只要证明∠CAB=90°即可，∠B+∠DAB=90°，而∠CAD=∠B，容易证明∠CAB=90°
（3）知道AC、AD，根据勾股定理能求CD，再根据三角形相似可求直径AB．
点评：此题考查三角形相似的判定及切线的判定的综合运用．