Question

设函数y=kx²+（2k+1）x+1（k为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数k，当x<m时，y随x着的增大而增大，试求出m的一个值。

Answer 1

解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x²+3x+1，函数图形“略”；
（2）不论k取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）
且与x轴至少有1个交点.证明如下：
由，得；
当，且x-y+1=0，即x=0，y=1，或x=-2，y=-1时，
上式对任意实数k都成立，所以函数的图像必过定点（0，1），（-2，-1），
又因为当k=0时，函数y=x+1的图像与x轴有一个交点；
当k≠0时，∵，所以函数图像与x轴有两个交点，
所以函数的图象与x轴至少有1个交点；
（3）只要写出m≤-1的数都可以，
∵k<0，∴ 函数的图像在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，　　　　　根据题意，得，而当k<0时，，所以。