Question

如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延长AB至E，使BE＝DC，试说明AC＝CE．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：因为四边形ABCD是等腰梯形， 　　所以∠ADC＝∠BCD． 　　又因为DC∥AB， 　　所以∠DCB＝∠CBE． 　　所以∠ADC＝∠CBE． 　　在△DAC和△BCE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，BE＝DC， 　　所以△DAC≌△BCE(SAS)． 　　所以AC＝CE． 　　解法2：如图所示，连接BD， 　　因为DC∥AB，BE是AB的延长线， 　　所以DC∥BE． 　　又因为DC＝BE， 　　所以四边形DBEC是平行四边形． 　　所以BD＝CE． 　　又因为AD＝BC，DC∥AB， 　　所以四边形DABC是等腰梯形． 　　所以AC＝BD． 　　所以AC＝CE． 　　解法3：如图所示，过点D，C分别作垂线，交AE于M，F， 　　在△DMA与△CFB中，∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°， 　　所以Rt△DAM≌Rt△CBF(AAS)． 　　所以AM＝BF． 　　又因为DC∥AB，DM∥CF， 　　所以四边形DMFC是矩形． 　　所以DC＝MF． 　　所以AM＋MF＝BF＋BE． 　　即AF＝FE． 　　所以F为AE的中点且CF⊥AE． 　　所以CA＝CE． 　　分析：解本题有几种方法，下列举出三种常见解法． 　　说明：解法1是通过证明两个三角形全等，进而对应边相等．解法2中辅助线为平移对角线，即过上底一端点，作一对角线的平行线，转化成平行四边形解决问题．解法3中辅助线为高线，过上底两端点向下底作垂线，把问题转化为直角三角形来解决．