Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB，tan ∠BAO=，点B的坐标为（7，4）。
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点G作CE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于D，如图， ∵点B的坐标为（7，4）， ∴BD=4，OD=7， ∵ ∴AD=3， ∴AO=10，A（10，0）， 又∵梯形OABC是等腰梯形，OE=AD=3， ∴C（3，4）；
（2）设过点O、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 由O（0，0）、B（7，4）、C（3，4）， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为；
（3）∵EO=AD=3，OA=10， ∴BC=DE=4， ∴梯形的面积为， 过点C与等腰梯形一腰平行的直线把梯形分成面积为16的平行四边形和面积为12的三角形，因此与梯形一腰平行且把梯形分成面积相等的两部分的直线一定与边BC交于异于点C 的一点， ①若过点P的直线平行于OC，过点P作PM∥OC，分别与OA、BC相交于M、N，则平行四边形OMNC的面积等于梯形面积的一半，S=OM·CE=14， ∴， ∴ ∵点P在抛物线上， 设点（x>0）则 ∠PMA=∠COA， ∴， 解得：（舍去），x2 ∴点P的横坐标为； ②若过点P的直线平行于AB， ∵的对称轴为x=5，由对称性可得点P的横坐标为， 综上所述，在抛物线上存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分，点P的横坐标为或。