Question

如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC=60°； （2）∵CP与⊙A相切， ∴∠ACP=90°， ∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°； 又∵A（4，0）， ∴AC=AO=4， ∴PA=2AC=8， ∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4； （3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1， 延长CP1交⊙A于Q1， ∵OA是半径， ∴， ∴OC=OQ1， ∴△OCQ1是等腰三角形； 又∵△AOC是等边三角形， ∴P1O=OA=2； ②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2， CQ2与x轴交于P2， ∵A是圆心， ∴DQ2是OC的垂直平分线， ∴CQ2=OQ2， ∴△OCQ2是等腰三角形； 过点Q2作Q2E⊥x轴于E， 在Rt△AQ2E中， ∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°， ∴Q2E=AQ2=2，AE=2， ∴点Q2的坐标为（4+，﹣2）； 在Rt△COP1中， ∵P1O=2，∠AOC=60°， ∴CP1=， ∴C点坐标为（2，）； 设直线CQ2的关系式为y=kx+b， 则，解得：， ∴y=﹣x+2+2； 当y=0时，x=2+2， ∴P2O=2+2． 综上所述，当PO=2或PO=2+2时， △OCQ是等腰三角形．