Question

已知二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

（1）证明：令y=0，a（x-m）²-a（x-m）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）解：①y=0，则a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得x₁=m，x₂=m+1，
∴AB=（m+1）-m=1，
y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m-）²-，
△ABC的面积=×1×||=1，
解得a=±8；

②x=0时，y=a（0-m）²-a（0-m）=am²+am，
所以，点D的坐标为（0，am²+am），
△ABD的面积=×1×|am²+am|，
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∴×1×|am²+am|=×1×||，
整理得，m²+m-=0或m²+m+=0，
解得m=或m=-．
分析：（1）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x-m）看作一个整体求解更加简便．